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La metodología de diseño del mecanismo de trabajo satélite de una máquina de desplazamiento positivo.
Scientific Reports volumen 12, número de artículo: 13685 (2022) Citar este artículo
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En este artículo se describe una metodología de diseño de un mecanismo satelital compuesto por dos engranajes no circulares (rotor con dentado externo y curvatura con dentado interno) y engranajes circulares (satélites). En la metodología presentada se supone que se conoce la línea de paso del rotor y es necesario designar la línea de paso de curvatura. La metodología presentada se aplica a mecanismos para los cuales el número de jorobas de curvatura es al menos uno mayor que el número de jorobas del rotor. También se presenta la selección del número de engranajes y el número de dientes en engranaje y rotor y curvatura. Se presenta la metodología de cálculo de la posición del centro del satélite y el ángulo de su rotación para dar forma a los dientes del rotor y curvatura. En el artículo también se muestran diferentes tipos de mecanismos de satélite: mecanismos de satélite con diferente número de jorobas en el rotor y curvatura. También se presentan los parámetros técnicos del mecanismo para la línea de paso del rotor descrito por la función coseno.
En los sistemas de accionamiento hidrostático, las máquinas de desplazamiento positivo son bombas y motores hidráulicos. Debido a las altas presiones de funcionamiento, las bombas y motores de pistón dominan en los sistemas hidrostáticos1,2,3,4,5. También se utilizan otras construcciones de máquinas de desplazamiento positivo, como máquinas de engranajes6,7,8,9,10, gerotor11 o de paletas12. Los últimos años han sido un período de desarrollo intensivo de las máquinas de desplazamiento positivo, especialmente los motores hidráulicos, en los que el mecanismo de trabajo es un conjunto especial de engranajes no circulares. Este artículo está dedicado a estas máquinas.
La idea de los engranajes no circulares no es nueva. En muchos dispositivos se utilizaron engranajes no circulares para proporcionar un movimiento irregular, que es la transferencia de una velocidad de entrada (generalmente) estable a varias velocidades de salida. Un ejemplo de tales dispositivos son los mecanismos de relojería, los dispositivos astronómicos, los sistemas electromecánicos para controlar y accionar potenciómetros no lineales, las máquinas textiles13, las prensas mecánicas14,15,16 y también los juguetes mecánicos. Además, a partir del siglo XVIII, los engranajes no circulares se utilizaron habitualmente en máquinas de desplazamiento positivo como bombas y caudalímetros (Fig. 1)17. Tanto las transmisiones por engranajes como las máquinas hidráulicas de desplazamiento positivo (Fig. 1) están construidas con engranajes no circulares con una distancia constante entre los ejes de estas ruedas. Los métodos para diseñar dichas transmisiones de engranajes se describen ampliamente en la literatura13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23.
Engranajes no circulares en máquina de desplazamiento positivo17.
Mientras que a finales del siglo XIX se construyó el primer motor hidráulico con engranajes no circulares24,25,26. Este motor se denominó motor satélite (Fig. 2).
El mecanismo de funcionamiento del primer motor satélite (tipo 3 × 4): 1—rotor, 2—curvatura, 3—satélite24,25,26.
La concepción del mecanismo de trabajo del motor satelital se basa en la cooperación mutua de la rueda no circular dentada externa (llamada rotor) con la rueda no circular dentada interna (llamada curvatura) a través de engranajes redondos (llamados satélites) entre ellos. Los satélites desempeñan el papel de tabiques móviles entre cámaras. Simultáneamente, los satélites funcionan como divisores de entrada y salida cuando la cámara de trabajo pasa de la fase de llenado a la fase de extrusión26.
Por tipo de mecanismo satélite debe entenderse su rasgo característico, que es el número nR de jorobas en el rotor y el número nE de jorobas en la curvatura. Así, el tipo de mecanismo quedará marcado como “nR x nE”.
Actualmente se fabrican motores hidráulicos con cuatro tipos de mecanismos satélites (Figs. 2, 3i, 4).
Mecanismos de satélite: tipo 4 × 6 (izquierda) y tipo 6 × 8 (derecha): 1—rotor, 2—curvatura, 3—satélite26,28,29,30,31,32,33,34.
El motor hidráulico con mecanismo satélite tipo 4 × 5. El número de dientes: curvatura zE = 130, rotor zR = 104 y satélite zS = 12, módulo de dientes m = 0,5 mm35,36.
Los mecanismos satélite se utilizan no sólo para construir un motor hidráulico, sino también para construir un intensificador de presión y una bomba36,37,38,39.
Según las patentes30,31,34, la forma del rotor consta de arcos de círculo con diferentes radios y tangentes entre sí. De manera similar, la forma de la curvatura es la suma de arcos con diferentes radios. Estas construcciones fueron el resultado principalmente de las tecnologías disponibles para su producción. Tanto los dientes del rotor como la curvatura se realizaron mediante tallado diagonal con una herramienta Fellows con el uso de herramientas especiales de una máquina ranuradora40,41,42. Mientras que los satélites se fabricaron mediante el método de fresado. Por lo tanto, al diseñar un mecanismo satélite también se deben tener en cuenta las herramientas disponibles (número de dientes del cincel, diámetro, etc.). Además, debía evitarse el fenómeno de interferencia de los dientes en el mecanismo43. Por lo tanto, Kujawski en43 formó el rotor del mecanismo tipo 4 × 6 mediante arcos de círculo conectados por secciones rectas y la construcción de curvatura consiste únicamente en arcos de círculo. Kujawski fue el primero en presentar las pautas y conceptos básicos para el diseño de los mecanismos satelitales43.
En el trabajo26 se presenta un rotor de cuatro jorobas compuesto por arcos tangentes entre sí (Fig. 5). Dowel Li et al. También desarrolló una metodología de diseño del mecanismo satelital tipo 4 × 6 basada en curvas de arco circular del rotor y curvatura44.
Rotor (de cuatro jorobas) como suma de arcos26.
En los mecanismos del tipo 3 × 4, 4 × 6 y 6 × 8 la forma del rotor está formada por arcos de círculo con diferentes radios y tangentes entre sí. En 26 se demostró que en estos mecanismos se producen cambios desfavorablemente grandes en la aceleración del satélite en el momento de la transición de la parte convexa del rotor a la parte cóncava, es decir, en el punto donde se encuentran los arcos de círculo (Fig. 6). La causa inmediata de esto es un cambio brusco en el valor del radio en el punto de tangencia de los arcos del círculo. Así, en un mecanismo operativo, especialmente a alta velocidad de rotación, habrá una gran pérdida mecánica que contribuye al desgaste acelerado de los dientes. La Figura 7 muestra que el desgaste se produce no sólo en los puntos de contacto de los arcos sino también en la convexidad (en la joroba) del rotor. La razón de esto es el pequeño radio de esta joroba45.
La característica de la aceleración angular del satélite en el mecanismo tipo 4 × 6 (a la velocidad angular del rotor ω = 10 rad/s)26.
Desgaste específico de los dientes de las jorobas del rotor. Líquido de trabajo: emulsión HFA-E. Tiempo de funcionamiento del mecanismo desconocido26,45.
Actualmente es posible fabricar los elementos dentados mediante mecanizado por electroerosión (el llamado método WEDM). Este método ya se utiliza para fabricar conocidos mecanismos de satélite, especialmente los del tipo 4 × 6, cuyas estructuras fueron diseñadas para fabricarse mediante cincelado44,47,48. Así, el WEDM permite fabricar mecanismos satelitales con diferentes rotores y formas de curvatura. Por ejemplo, el rotor del mecanismo tipo 4 × 5 (Fig. 4) tiene forma circular-sinusoidal35. El radio rR de la línea de paso del rotor se describió mediante la ecuación 35:
donde rRmin y rRmax, respectivamente: radio mínimo y máximo del rotor, nR, el número de jorobas del rotor, αR, el ángulo (Fig. 13).
Para el mecanismo mostrado en la Fig. 4 es: rRmin = 22.552 mm y rRmax = 27.524 mm35.
Actualmente se proponen los siguientes conceptos de mecanismo satelital. Osiecki propone un mecanismo satélite tipo 2 × 4 con forma elíptica del rotor (dos jorobas) y con curvatura de cuatro jorobas45,46. Sin embargo, Osiecki no reveló la metodología para diseñar la curvatura ni la metodología para seleccionar el número de dientes en los elementos del mecanismo (rotor, curvatura y satélite). En la literatura también se conocen los mecanismos satelitales tipo 2 × 2 y 2 × 3 (Fig. 8)49,50,51,52,53,54,55,56.
Mecanismos satelitales: tipo 2 × 2 (izquierda), tipo 2 × 3 (centro) y tipo 2 × 4 (derecha), 1—rotor, 2—satélite, 3—curvatura49,50,51,52,53,54,55 ,56.
Volkov en absoluto propone diseñar mecanismos satelitales, como se muestra en la Fig. 8, especificando, primero, la trayectoria del centro del satélite asociada con el rotor y con la curvatura. En coordenadas polares la distancia LSR del centro del satélite asociado al rotor desde el origen del sistema de coordenadas es 49,50,51,52:
y la distancia LSE del centro del satélite asociada con la curvatura desde el origen del sistema de coordenadas es 49,50,51,52:
donde f(…)—función cíclica, kt—el coeficiente que caracteriza la no circularidad de las trayectorias, LC—el radio del círculo al que degeneran ambas trayectorias cuando k = 0, αSR y αSE—ángulos polares asociados con el rotor y curvatura respectivamente.
A continuación, las curvas del rotor y de curvatura se calculan como equidistancias de las trayectorias (2) y (3) antes mencionadas, asumiendo el diámetro del satélite y el número de dientes del satélite, rotor y curvatura49,50,51,52.
Zhang et al.57 y Wang et al.39 proponen el nuevo mecanismo satelital tipo 4 × 6 con la forma de elipse de alto orden del rotor. La curva de paso del rotor se describe en coordenadas polares como:
donde rR—la distancia entre el origen del sistema de coordenadas y un punto en la curva de paso del rotor, ke—la excentricidad de la elipse, A—el radio del eje largo de la elipse, αR—el ángulo polar de la curva de paso del rotor .
Zhang también propone describir la línea de paso del rotor como57:
donde rc—el radio del círculo básico, Ah—la amplitud de la función prima, B—coeficiente.
Según Zhang, Wang en toda la ecuación que describe la curvatura de tono en coordenadas polares es 39,57:
donde rE: la distancia entre el origen del sistema de coordenadas y un punto en la curva de paso de curvatura, rS: radio de la curva de paso del satélite, αE: el ángulo polar de la curva de paso de curvatura.
Zhang no indica en absoluto que con una selección inadecuada de parámetros, la curvatura se caracteriza por el autoentrelazado de la línea de paso (Fig. 9) o por socavado de los dientes (Fig. 10).
El fenómeno del autoentrelazado de la línea de tono de curvatura57.
El fenómeno de socavar los dientes curvados57.
Además, Zhang no indica que, al seleccionar los parámetros de la curva de paso, es necesario dibujar el perfil de los dientes de cada engranaje al mismo tiempo para juzgar su viabilidad57. Es un cierto inconveniente. El siguiente problema a resolver es determinar cómo seleccionar los coeficientes Ah y B en la ecuación. (5) para resolver el problema de socavación de la curvatura de modo que el número de dientes satélite zS sea lo suficientemente pequeño57.
En los métodos conocidos anteriormente caracterizados para diseñar un mecanismo satélite, también se pueden observar algunas desventajas relacionadas con la selección de los parámetros del rotor y las líneas de paso de curvatura, así como con la selección del número de dientes y su módulo. Por lo tanto, a continuación se proponen dos nuevos métodos para diseñar cualquier tipo de mecanismo satelital para nE > nR. El primer método permite determinar parámetros del mecanismo satélite para la solución perfecta y el segundo método permite la corrección de los dientes.
En el método de diseño de un mecanismo satelital se supone que el satélite desempeña el papel de un cincel. Es decir, en un programa informático el satélite cincela los engranajes del rotor y la curvatura. Por lo tanto, a continuación también se presentan las relaciones matemáticas que describen la posición del centro del satélite en el sistema de coordenadas X–Y y el ángulo correspondiente de rotación del satélite.
Se supone que para cada radio rs del círculo primitivo del satélite y para cada línea de paso del rotor existe una línea de curvatura correspondiente a éste, que cumple las condiciones de perfecta cooperación. Estas condiciones son las siguientes43:
en cada posición mutua de rotor y curvatura, obtenida como resultado de la rotación de uno de ellos alrededor del otro, los círculos de paso de todos los satélites deben ser tangentes a las líneas de paso del rotor y la curvatura;
los círculos de paso de todos los satélites deben cabecear sin deslizarse sobre las líneas de paso del rotor y la curvatura;
en toda la longitud de la línea de paso del rotor y en toda la longitud de la línea de paso de la curvatura deben existir tales jorobas que hagan posible el paso del círculo de paso del satélite en el lado externo de la línea de paso del rotor y en el lado interno de la línea de paso de la curvatura;
los rotores y las líneas de paso de curvatura deben ser curvas que cambian cíclicamente y no deben superponerse con un desplazamiento rotacional mutuo;
los centros S de los satélites deben ubicarse en el punto de intersección de la equidistante eR de la línea de paso del rotor con la equidistante eE de la línea de paso de la curvatura (las equidistancias son las trayectorias de los centros de los satélites, que surgen como resultado del paso del satélite sobre las líneas de paso del rotor y la curvatura) (Fig. 11);
Las relaciones geométricas básicas en el mecanismo satelital.
el punto R de contacto del satélite con el rotor y el punto E de contacto del satélite con la curvatura se encuentran en una línea recta que pasa por el centro de rotación del rotor y curvatura (Fig. 11);
si las curvas del rotor están entre los puntos R1 y R2 y las curvas de curvatura están entre los puntos E1 y E2 (Fig. 11) y además las tangentes a estas curvas son perpendiculares a los radios principales rR (rotor) y rE (curvatura) entonces la longitud LRc de la curva básica del rotor es igual a la longitud LEc de la curva básica de curvatura:
el ángulo central βR que cubre la mitad del ciclo de la curva de paso del rotor (correspondiente a la longitud LRc) es:
donde nR es el número de jorobas del rotor;
el ángulo central βE que cubre la mitad del ciclo de la curva de paso de la curvatura (correspondiente a la longitud LEc) es:
donde nE es el número de jorobas de curvatura;
el número de jorobas de la curvatura es mayor que el número de jorobas del rotor (nE > nR).
Al iniciar el diseño del mecanismo satélite, el primer paso es tomar el número de jorobas nR en el rotor y el número de jorobas nE en la curvatura. A continuación se debe elegir el radio rc del círculo básico del rotor.
Al diseñar un mecanismo satelital se debe recordar que:
el número de dientes zRc en el rango del ángulo del rotor βR (Fig. 16) es:
debido a que se debe cumplir la condición (8), entonces:
el número de dientes zR del rotor es:
el número de dientes zE en la curvatura es:
los números de dientes zR y zE deben ser números enteros;
el número de dientes 2zRc en la joroba del rotor (y el mismo en la joroba de curvatura) debe ser un número entero. De lo contrario, a pesar del cumplimiento de la condición (8) y del número total de dientes del rotor zR y dientes de curvatura zE, el mecanismo satélite no se puede montar correctamente. Un ejemplo de tal mecanismo se presenta en la Fig. 12.
Mecanismo satelital tipo 4 × 6 con parámetros seleccionados incorrectamente: zS = 9, zRc = 4,75, zR = 38, zE = 57. No se puede insertar uno de cada dos satélites en el mecanismo.
Tener el número de jorobas nR y nE debe ser secuencialmente:
adoptar el radio rc del círculo básico del rotor;
utilizando el método de iteración se debe buscar la amplitud Ah y el radio del satélite rS hasta que se cumpla la condición (8) con el cumplimiento simultáneo de la condición (54);
utilizando el método de iteración se debe buscar el número de dientes satélite zS de modo que los números de dientes zR y zE sean enteros;
Calcular el módulo de dientes m según la siguiente fórmula:
El valor calculado del módulo m tiene que corresponder al valor normalizado;
adoptar el valor normalizado deseado del módulo mst;
todos los parámetros del mecanismo satelital deben escalarse mediante un valor:
La búsqueda de los parámetros del mecanismo del satélite, es decir, Ah, rS y zS, de modo que se cumpla la condición (54), puede resultar imposible. Entonces vale la pena permitir una cierta diferencia δ de las longitudes LRc y LEc, pero no mayor que el valor límite δb, es decir:
El valor δb se justifica, por ejemplo, porque dependiendo de la tecnología de procesamiento se obtiene una precisión diferente en la fabricación de los elementos del mecanismo del satélite.
Tener el número de jorobas nR y nE debe ser secuencialmente:
adoptar el radio circular básico rc del rotor;
adoptar la amplitud Ah;
mediante el método de iteración para buscar el radio del satélite rS hasta que se cumpla la condición (8) cumpliendo al mismo tiempo la condición (54) (presentada en el “Método 2”);
adoptar el número de dientes zRc (teniendo en cuenta que el número de dientes 2zRc en la joroba del rotor debe ser entero);
calcular el módulo m transformando la fórmula (11);
calcular el número de dientes zS transformando la fórmula (15). No es necesario que el valor obtenido zS sea un número entero;
si el valor calculado de zS no es un número entero, entonces se debe adoptar el número total de dientes satélite zSst. Se recomienda que:
para aplicar la corrección PO de los dientes. El valor mínimo del coeficiente corrector es:
Para generar dientes corregidos del rotor y la curvatura, el ángulo γSst de rotación del satélite con respecto a su centro S debe calcularse de acuerdo con la siguiente fórmula:
dónde:
De acuerdo con las condiciones básicas mostradas en “Condiciones básicas”, las líneas de paso del rotor deben ser una curva que cambia cíclicamente. Además, el rotor debería tener un número total de protuberancias nR distribuidas uniformemente por toda la circunferencia del rotor. Por lo tanto, el radio rR de la línea de paso del rotor se puede definir mediante cualquier tipo de función cíclica rR = f(αR), por ejemplo las funciones (1), (4), (5) y cualquier otra. En la Fig. 13 se muestra un boceto esquemático de un cuarto de rotor con las dimensiones geométricas básicas.
Los parámetros básicos del rotor.
Las coordenadas (xR,yR) del punto R en la línea de paso del rotor son:
El punto más alejado de la línea de paso del rotor desde el centro de rotación de este rotor (es decir, desde el origen del sistema de coordenadas) designa la línea recta k que es el eje de simetría de la joroba del rotor (Fig. 13). Si αS = αR = βR entonces el centro del satélite S y el punto R tangente del satélite al rotor se encuentran en la recta k (Fig. 16b). El ángulo βR se puede calcular a partir de la fórmula (10).
El círculo de paso del satélite con radio rs debe ser tangente en el punto R a la línea de paso del rotor (Fig. 14).
Las coordenadas del centro del satélite.
Las coordenadas (xS,yS) del centro del satélite S se pueden calcular según las siguientes fórmulas:
donde a(R)p es la pendiente de la recta y(R)p perpendicular a la recta tangente y(R)t en el punto R (Fig. 14). Si a(R)p < 0 entonces en las fórmulas (25) y (26) hay un signo “-” en lugar del signo “±”. Pero para a(R)p ≥ 0 es el signo “+”.
La posición angular del centro del satélite S (ángulo αS en la Fig. 14) con respecto al eje OY puede calcularse mediante la siguiente fórmula:
mientras que la distancia LS del centro del satélite S desde el origen del sistema de coordenadas es:
A cada posición del centro del satélite S descrita por las fórmulas (25) y (26) se le asigna el ángulo γS de rotación del satélite alrededor del centro S (Fig. 15).
Ángulos del satélite.
El ángulo γS de rotación del satélite alrededor de su centro S se puede calcular según la siguiente fórmula:
El número nE de los resaltes de curvatura debe ser mayor que el número nR de los resaltes del rotor (nE > nR). Si el centro del satélite S y el punto de tangencia R del satélite con el rotor se encuentran en la recta k, entonces esta recta es el eje de simetría de las jorobas de curvatura. El punto de tangencia E del satélite con la curvatura también se encuentra en la línea k (Fig. 16). Además, para rR = rRmin es rE = rEmin y para rR = rRmax es rE = rEmax.
Características de los ángulos del rotor y la curvatura y los puntos de tangencia del satélite con el rotor y la curvatura.
El número nE de jorobas de curvatura corresponde al ángulo βE, que se puede calcular a partir de la fórmula (10). Las fórmulas (9) y (10) siguen lo siguiente:
y por lo tanto:
Además, si el satélite se mueve en relación con el rotor en un ángulo βR, entonces la curvatura girará en un ángulo βEc (Fig. 16):
Si existen las relaciones (31) y (32) entre los ángulos βR, βE y βEc, entonces las siguientes relaciones entre los ángulos αS, αSE y θE también son verdaderas (Fig. 17):
Las relaciones entre la posición angular αS del satélite y el ángulo θE de curvatura giran.
Para determinar la línea de paso de curvatura, se debe calcular el conjunto de coordenadas (xE,yE) del punto E. Estas coordenadas se pueden calcular mediante dos métodos.
Para cualquier posición del satélite, el punto de tangencia E del satélite con la curvatura se encuentra en la línea recta que pasa por el centro de rotación del rotor y el punto de tangencia R del satélite con el rotor (Fig. 18).
Punto de tangencia E del satélite con la curvatura.
Las coordenadas del punto E son las siguientes:
dónde:
Para cualquier ubicación del centro del satélite S con respecto al rotor corresponde la ubicación del centro SE de este satélite con respecto a la curvatura (Fig. 19). El círculo primitivo del satélite con centro en el punto SE es tangente a la línea primitiva de la curvatura. El ángulo ρ entre los puntos S y SE se puede calcular a partir de la siguiente fórmula:
Determinación de la línea de paso de curvatura: relaciones angulares.
mientras que las coordenadas (xSE,ySE) del punto SE son:
donde LS se expresa mediante la fórmula (28).
Las coordenadas (xE,yE) del punto E (Fig. 19) se pueden calcular a partir de fórmulas:
dónde:
Si el satélite gira a lo largo de la línea de paso del rotor con el ángulo elemental ∆αS(1), entonces el punto de tangencia inicial E'(1) del satélite con la curvatura gira con el ángulo ∆αE(1) y se encuentra en una nueva posición. E(1) (Figura 20). El círculo de paso del satélite en una nueva posición (punto S(2) según la Fig. 20) es tangente a la línea de paso de curvatura. El centro del satélite es común para la posición del satélite con respecto al rotor y la posición del satélite con respecto a la curvatura, es decir, S(2) = SE(2). El siguiente desplazamiento del satélite con el ángulo ∆αS(2) (Fig. 21) fuerza la rotación tanto del centro del satélite S(2) como del punto E(1) con el ángulo ∆αE(2). Por tanto, las nuevas posiciones de los satélites con respecto a la curvatura son SE(1), SE(2) y SE(3). Donde, la posición central del satélite SE(3) es la misma que la posición S(2) con respecto al rotor, es decir S(3) = SE(3). En los siguientes pasos se hace lo mismo hasta que αS = αR = βR.
Los puntos de tangencia E del satélite con la curvatura.
Las siguientes posiciones del satélite con respecto al rotor y las posiciones del satélite con respecto a la curvatura: la determinación de la forma de la línea de paso de curvatura.
El desplazamiento del satélite con el ángulo ∆αS(1) provoca que el punto de tangencia R recorra la distancia ∆LR(1) (Fig. 20). La misma distancia debe recorrer el punto de tangencia E, es decir:
Después del desplazamiento del satélite con el ángulo ∆αS(1), el punto E(2) es el nuevo punto de tangencia de este satélite con la curvatura (Fig. 16). El siguiente desplazamiento del satélite con el ángulo ∆αS(2) fuerza la rotación de los puntos E(1) y E(2) (es decir, el punto actual y los puntos anteriores) con el ángulo ∆αE(2). En los siguientes pasos, se hace lo mismo hasta que αS = αR = βR.
Es más ventajoso determinar la línea de paso de curvatura sólo después de determinar el conjunto completo de centros de satélite SE, es decir, después de determinar todos los centros SE con el paso de ∆αE). Este método se ilustra en la Fig. 22. Los círculos con radio rE y centro CE son tangentes a los tres satélites siguientes. Es decir, el círculo de radio rE(2) es tangente a los satélites 1, 2 y 3. El punto E(2) es el punto de tangencia del círculo de radio rE(2) al satélite 2. De manera similar, el círculo de radio rE(2) es tangente a los satélites 1, 2 y 3. El círculo de radio rE(3) es tangente a los satélites 2, 3 y 4 y además el punto E(3) es el punto de tangencia del círculo de radio rE(3) al satélite 3.
Las posiciones de los satélites en relación con la curvatura: la determinación de la línea de paso de la curvatura.
Las coordenadas (xE(1),yE(1)) del primer punto E(1) de la curvatura (Fig. 22) deben calcularse a partir de las fórmulas (43) y (44). Pero las coordenadas (xE(i),yE(i)) de los siguientes puntos E(i) de la curvatura deben calcularse según el método mostrado en la Fig. 22. Es decir, las coordenadas (xCE(i),yCE( i)) del centro del círculo con el radio rE(i) (con el número (i)) se puede calcular a partir de fórmulas:
Pero las coordenadas (xE(i),yE(i)) del punto de curvatura E(i) son:
dónde:
Y se debe cumplir la siguiente condición:
Entonces no hay autoentrelazado de la línea de paso de curvatura como en la Fig. 9.
Las fórmulas matemáticas presentadas anteriormente permiten calcular las coordenadas del punto E en la línea de paso de curvatura sólo en el rango del ángulo βE. Los puntos en la segunda mitad de la joroba de curvatura son una imagen especular de los puntos E con respecto a la recta k. Pero la línea de paso total de la curvatura es la matriz circular de la línea de paso de joroba con respecto al origen del sistema de coordenadas.
La longitud LR de la línea de paso del rotor en términos del ángulo αR es la suma de las longitudes elementales ∆LR(i) definidas por dos puntos adyacentes (R(i) y R(i+1)) de la línea de paso del rotor ( Fig.23), es decir:
Las longitudes elementales del rotor y la curvatura (∆LR(i) y ∆LE(i)).
De manera similar, la longitud LE de la línea de paso de curvatura en el rango del ángulo αE es la suma de las longitudes elementales ∆LE(i) definidas por dos puntos adyacentes (E(i) y E(i+1)) de la línea de paso de curvatura. línea (Figs. 19, 22, 23), es decir:
Si αR = βR entonces LR = LRc y si αE = βE entonces LE = LEc.
Si el ángulo βE corresponde a la joroba de curvatura, entonces la rotación de la curvatura en el ángulo
permitirá la colocación del siguiente satélite en el mismo lugar (punto S(1)—Fig. 24). Las fórmulas (10) y (34) indican que el ángulo φS entre satélites es:
El ángulo φS entre satélites.
El número nS de satélite en mecanismo es:
Por tipo de mecanismo satélite debe entenderse su futuro característico, es decir, el número nR de jorobas del rotor y el número nE de jorobas de curvatura. Por tanto el tipo de mecanismo está marcado como “nR x nE”. Si el número nE de jorobas de curvatura aumenta en relación con el número nR de jorobas del rotor, entonces aumenta el diámetro del satélite y disminuye la distancia entre ejes de dos satélites adyacentes. Así, en un mecanismo satelital de cualquier tipo, cada par de satélites adyacentes debe cumplir la siguiente condición:
donde \(\left({\maths{x}}_{\maths{S}}^{(\maths{i})},{\maths{y}}_{\maths{S}}^{( \mathrm{i})}\right)\) y \(\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{S}}^{(\mathrm{i}+1)},{\mathrm{ y}}_{\mathrm{S}}^{(\mathrm{i}+1)}\right)\): coordenadas de dos satélites adyacentes, hhs: la altura de la cabeza del diente.
Los tipos de mecanismos de satélite que cumplen la condición (60) se muestran en la Fig. 25. Cabe señalar que, independientemente del tipo de mecanismo, la distancia entre los diámetros de paso del satélite disminuye si la diferencia en el número de rotor y curvatura las jorobas aumentan. Por tanto estos mecanismos se caracterizan por un gran número de dientes y grandes dimensiones.
Varios tipos de mecanismos satelitales.
No es posible construir un mecanismo satélite si:
A continuación se determinaron los parámetros del mecanismo del satélite para el radio rR de la curva de paso del rotor expresado como (Fig. 13):
dónde:
Es decir, una curva coseno con una amplitud Ah está “enrollada” en el círculo con un radio rc. Las coordenadas (xR,yR) del punto R en la línea de paso del rotor son:
La pendiente a(R)p de la recta y(R)p perpendicular a la recta tangente y(R)t en el punto R es:
La Tabla 1 resume los parámetros de los mecanismos satelitales seleccionados calculados utilizando el primer método (ver “El primer método: búsqueda de la solución perfecta”). Mientras que en el Cuadro 2 se resumen los parámetros de mecanismos satelitales seleccionados calculados utilizando el segundo método (ver “El segundo método”), suponiendo:
número diferente de dientes zRc correspondiente a la longitud LRc de la línea de paso del rotor,
\({\mathrm{y}}_{\mathrm{E}}^{(\mathrm{i}+1)}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{E}}^{\left( \mathrm{i}\right)}\approx 0\) es decir para Ah/rc = máx.
En ambos casos los parámetros se determinaron para un módulo de diente m = 1 mm.
Es posible desarrollar mecanismos satelitales con nR > 8, pero es poco probable que estos mecanismos encuentren aplicación técnica.
Los parámetros del mecanismo satelital tipo 4 × 5, que se muestran en la Tabla 1, después de escalar al módulo m = 0,5 mm corresponden a los parámetros del mecanismo que se muestra en la Fig. 4. Por lo tanto, confirma la exactitud de la metodología de diseño y los cálculos realizados.
Para verificar el procedimiento de diseño presentado, se diseñó, fabricó y examinó un mecanismo satelital de muestra. Los proyectos de rotor y curvatura, creados según la metodología descrita anteriormente se presentan en las Figs. 26 y 27. Pero la Fig. 28 muestra un mecanismo satelital tipo 4 × 6 hecho de metal por WEDM.
Rotor, curvatura y mecanismo satélite completo tipo 4 × 6 (ángulo de presión 20°, zS = 10, zRc = 5,5, zR = 44, zE = 66).
Rotor, curvatura y mecanismo satélite completo tipo 4 × 6 (ángulo de presión 30°, zS = 8, zRc = 4,5, zR = 36, zE = 54).
Mecanismo satélite tipo 4×6: fabricado en metal mediante WEDM (zS = 10, zRc = 5,5, zR = 44, zE = 66).
Se comprobó que el mecanismo del satélite gira sin problemas.
Este artículo presenta el método de diseño de un mecanismo satélite basado en la función adoptada de la línea de paso del rotor. Se describe la secuencia del procedimiento para seleccionar los parámetros del mecanismo satelital. También se presentan todos los tipos técnicamente posibles de mecanismos satelitales. Estos mecanismos se calcularon asumiendo la función sinusoidal para determinar la forma de la línea de paso del rotor. Desde el punto de vista de la construcción de máquinas de desplazamiento hidráulico, se justifica el uso de un rotor de forma circular-sinusoidal.
Tanto la forma de los dientes del rotor como la de los dientes de curvatura están determinadas por la forma de los dientes satélite. El satélite es un cortador de engranajes. De esta manera se eliminó la interferencia de los dientes. Ésta es una ventaja indudable del método presentado. Además, el método de diseño presentado permite evitar la autointersección de la línea de paso de curvatura y la socavación de los dientes de curvatura. Es posible aplicar una corrección de dientes y crear un mecanismo satélite incluso con un número muy pequeño de dientes satélite (por ejemplo zS = 8).
La verificación práctica demostró que el uso del método de diseño presentado tiene buenos resultados. En el mecanismo fabricado no se observaron problemas con el engrane de los engranajes: el mecanismo funcionó suavemente, sin atascarse.
Los resultados presentados en este artículo pueden constituir fundamentos para futuras investigaciones de otras propiedades particulares de diferentes tipos de mecanismos satelitales, tales como:
el volumen de la cámara de trabajo en función del ángulo de rotación del rotor o de la curvatura. La cámara de trabajo debe entenderse como un volumen formado por dos satélites adyacentes, rotor y curvatura;
desplazamiento geométrico de una máquina hidráulica con diferentes tipos de mecanismos satélites;
características teóricas del par y del caudal en un mecanismo y, por tanto, también una irregularidad del caudal y del par;
cinemática y dinámica de satélites;
pérdidas mecánicas.
Sin duda, un tema importante será el análisis del impacto de la estructura dental (por ejemplo, dientes involutos, dientes de arco circular, etc.) sobre su resistencia.
Sin embargo, la metodología para diseñar la curvatura es universal para diferentes formas del rotor. La metodología de diseño del mecanismo satelital, que se presenta a continuación, permite su fabricación mediante el método de mecanizado por descarga eléctrica de alambre.
Los conjuntos de datos generados y/o analizados durante el estudio actual no están disponibles públicamente debido a la protección de patente de las soluciones presentadas en el artículo (solicitudes de patente P.437749, P.437750 y P.437751), pero están disponibles a través del autor correspondiente en condiciones razonables. pedido.
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Pawel Sliwinski
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Sliwinski, P. La metodología de diseño del mecanismo de trabajo satelital de una máquina de desplazamiento positivo. Representante científico 12, 13685 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-18093-z
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Recibido: 22 de abril de 2022
Aceptado: 04 de agosto de 2022
Publicado: 11 de agosto de 2022
DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-18093-z
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